VALOR ESPERADO Y VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA


Media o valor esperado

La media «µ» o valor esperado «E(X)» es un promedio ponderado de los valores que asume la variable aleatoria cuando los pesos son las probabilidades. Es una medida de tendencia central. Cuando trabajamos con una variable aleatoria discreta, la media o valor esperado se calcula mediante la siguiente fórmula:

Como verás, la media µ de una variable aleatoria discreta X se encuentra al multiplicar cada posible valor de X por su propia probabilidad y luego sumar todos los productos.

El valor esperado o media no tiene que ser un valor que la variable aleatoria pueda asumir. 

 Varianza

L varianza, σ2 o V(X), es un promedio ponderado de las desviaciones al cuadrado de una variable aleatoria de su media. Los pesos son las probabilidades. La varianza σ2 o V(X) se calcula con la siguiente fórmula:

Pero es más fácil y rápido usar esta fórmula, equivalente a la anterior:

Debemos recordar que la varianza es una medida de variabilidad o dispersión.

3. Desviación estándar

La desviación estándar σ es la raíz cuadrada positiva de la varianza:

Recuerda que la varianza se mide en las mismas unidades que la variable aleatoria original.

Ejemplo 1

Sea X el número de clientes que visitan una tienda por día. Calcular el valor esperado de X a partir de su función de probabilidad:

Solución:

Recordemos la fórmula de la media o valor esperado:

Entonces reemplazamos los valores:

Y listo, la media o valor esperado es de 0,60. Recuerda que el valor esperado o media no tiene que ser un valor que la variable aleatoria pueda asumir. 

Ejemplo 2

Encuentra la media, varianza y desviación estándar de la variable aleatoria X:

Solución:

Cuando no solo nos piden calcular la media, si no también la varianza y la desviación estándar, es mejor emplear una tabla en la cual iremos colocando todo lo que indican las fórmulas. Empezamos colocando la tabla de la función de manera vertical.

Para calcular la media µ o valor esperado E(X), usamos su fórmula:

Agregamos una columna más a la tabla, para encontrar los productos x·f(x). Luego, sumamos estos productos.

Listo el valor de la media, obtuvimos que:

Llega el turno de la varianza, usaremos la fórmula rápida:

Entonces, agregamos algunas columnas más a nuestra tabla para encontrar lo que nos pide la fórmula:

Ya casi terminamos con la varianza:

Y por último, viene el valor de la desviación estándar, que es la raíz cuadrada positiva de la varianza.






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