REGLAS DE DERIVACION ALGEBRAICAS


En esta clase aprendí las diferentes reglas en las que podemos llegar a resolver una derivada de y´ de mare más fácil a un que la verdad durante la clase entendí como realizarlas y al estar viendo videos me llego una manera más clara de resolverlos 

La notación más usual para representar la derivada de una función y=f(x) es la que acabamos de ver (f’ o y’). Sin embargo, otra notación muy usada es la notación de Leibniz que se representa como cualquiera de las siguientes expresiones:

En vista de que la derivada es en esencia un límite, esta puede existir o no, pues los límites no siempre existen. En caso de que exista, se dice que la función en cuestión es diferenciable en el punto dado.

Función algebraica

Una función algebraica es una combinación de polinomios por medio de sumas, restas, productos, cocientes, potencias y radicales.

Un polinomio es una expresión de la forma

Pn=anxn+ an-1xn-1+ an-2xn-2+…+ a2x2+ a1x+a0

Donde n es un número natural y todos los ai, con i=0,1,…,n, son números racionales y an≠0. En este caso se dice que el grado de este polinomio es n.

Los siguientes son ejemplos de funciones algebraicas:

Aquí no están incluidas las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Las reglas de derivación que veremos a continuación son válidas para funciones en general, pero nos restringiremos y las aplicaremos en el caso de funciones algebraicas.

Reglas de derivación

Derivada de una constante

Establece que la derivada de una constante es cero. Es decir, si f(x)=c, entonces f’(x)=0. Por ejemplo, la derivada de la función constante 2 es igual a 0.

Derivada de una potencia

Si f(x)=xn, entonces f’(x)=nxn-1. Por ejemplo, la derivada de x3 es 3x2. Como consecuencia de esto, se obtiene que la derivada de la función identidad f(x)=x es f’(x)=1x1-1=x0=1.

Otro ejemplo es el siguiente: sea f(x)=1/x2, entonces f(x)=x-2 y f’(x)=-2x-2-1=-2x-3.

Esta propiedad también es válida raíces, pues las raíces son potencias racionales y se puede aplicar lo anterior también en ese caso. Por ejemplo, la derivada de una raíz cuadrada viene dada por 


Derivada de una suma y de una resta

Si f y g son funciones diferenciables en x, entonces la suma f+g también lo es y se cumple que (f+g)’(x)=f’(x)+g’(x).

Análogamente se tiene que (f-g)’(x)=f’(x)-g’(x). En otras palabras, la derivada de una suma (resta), es la suma (o resta) de las derivadas.

Ejemplo

Si h(x)=x2+x-1, entonces

h’(x)=(x2)+(x)’-(1)’=2x+1-0=2x+1.

Derivada de un producto

Si f y g son funciones diferenciables en x, entonces el producto fg también es diferenciable en x y se cumple que

(fg)’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x).

Como consecuencia se tiene que si c es una constante y f es una función diferenciable en x, entonces cf también es diferenciable en x y (cf)’(x)=cf’(X).

Ejemplo

Si f(x)=3x(x2+1), entonces

f’(x)=(3x)’(x2+1)+(3x)(x2+1)’=3(x)’(x2+1)+3x[(x2)’+(1)’]

=3(1)( x2+1)+3x[(2x2-1)+0]=3(x2+1)+3x(2x)=3x2+3+6x2

=9x2+3.
















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