CONTINUIDAD DE UNA FUNCION


aprendizaje: aprendí a como realizar una continuidad de una función de manera fácil como nos lo explicaron en la clase 

que el punto x= a tenga una imagen 

que existe el límite de una función en un punto x= a

 
que la imagen y el punto coincidan con el límite de la función en el punto 


de esa manera podrás saber si tu función es continua o descontinua



Verifica si la función:

  \begin{equation*} y(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 2\,x & \mbox{ si } x \leq 3\\ x^2 - 3 & \mbox{ si } x > 3 \end{array} \right. \end{equation*}

es continua en el punto x = 3.

Primero calcularemos el límite:

  \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow3}{y(x)} \end{equation*}

Observa que la función está definida de una manera por la izquierda y de otra por la derecha de ese punto. Así que tendremos que calcular los dos límites laterales y verificar que coinciden. Empezamos calculando el límite por la izquierda:

\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow3^{-}}{y(x)} &=& \lim\limits_{x\rightarrow3^{-}}{2\,x}\\ &=& 2(3) = 6 \end{eqnarray*}

Ahora calcularemos el límite por la derecha:

  \begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow3^{+}}{y(x)} &=& \lim\limits_{x\rightarrow3^{+}}{x^2 - 3}\\ &=& (3)^2 - 3 = 6 \end{eqnarray*}

Como los dos límites laterales son iguales, el límite \lim\limits_{x\rightarrow3}{y(x)} existe. Ahora verificamos que la función está definida para x = 3. Observa que en la definición, la expresión x \leq 3 nos indica que debemos usar la primera rama de la función:

  \begin{equation*} y(3) = 2\,x = 2(3) = 6 \end{equation*}

Además, podemos ver que y(3) = \lim\limits_{x\rightarrow3}{y(x)}, por lo que la función sí es continua en x = 3. La gráfica de esta función se muestra a continuación:


Observa que la gráfica de la función es continua porque en x = 3 el valor de las dos ramas coincide. Esto lo notamos del cálculo de los dos límites laterales.       En general, puedes ver gráficamente si una función es discontinua si al graficarla ésta presenta un brinco, es decir, si no es posible dibujarla de un solo trazo. Las funciones escalonadas son discontinuas. Igualmente, las funciones racionales con denominador que se hace cero para al menos un valor de x.


 Continuidad de una función - Aprende Matemáticas (aprendematematicas.org.mx)

continuidad de una función - Bing images


Comentarios

Publicar un comentario

Entradas más populares de este blog

Imagen
  Integración de potencias de funciones trigonométricas  En esta clase comprendí a la manera de cómo puedes realizar este modo de integración y como se tiene que utilizar el cambio de variable para su finalización  integrar expresiones que contienen términos elevados a potencias enteras o fraccionarias de funciones trigonométricas. Aquí tienes algunas fórmulas generales que pueden ser útiles: Integración de seno y coseno elevados a potencias pares: ∫ sin ⁡ � ( � )   � � = − 1 � ⋅ sin ⁡ � − 1 ( � ) ⋅ cos ⁡ ( � ) + � − 1 � ∫ sin ⁡ � − 2 ( � )   � � ∫ sin n ( x ) d x = − n 1 ​ ⋅ sin n − 1 ( x ) ⋅ cos ( x ) + n n − 1 ​ ∫ sin n − 2 ( x ) d x ∫ cos ⁡ � ( � )   � � = 1 � ⋅ cos ⁡ � − 1 ( � ) ⋅ sin ⁡ ( � ) + � − 1 � ∫ cos ⁡ � − 2 ( � )   � � ∫ cos n ( x ) d x = n 1 ​ ⋅ cos n − 1 ( x ) ⋅ sin ( x ) + n n − 1 ​ ∫ cos n − 2 ( x ) d x Integración de tangente elevada a una potencia impar: ∫ tan ⁡ � ( � )   � � = 1 � − 1 ⋅ tan ⁡ � − 1 ( � ) − ∫ tan ⁡ � − 2 ( � )   � � ∫ tan n ( x ) d x ...
Leer más
Imagen
Integración  por partes   en esta clase aprende la nueva regla de integración y como implementarla en la practica. ¿Qué es la Integración por Partes y por qué es Importante? La integración por partes es una herramienta esencial en el campo del cálculo integral. Se basa en una versión modificada de la regla del producto en la derivación y es especialmente útil cuando necesitas encontrar la integral de un producto de dos funciones. Esta técnica es relevante en una amplia gama de aplicaciones matemáticas, científicas e ingenieriles, y es fundamental para resolver problemas en física, estadística, ingeniería y más. Paso a Paso: Cómo Aplicar la Integración por Partes Fórmula Integración por partes   Paso 1: Elección Estratégica de “u” y “dv” La elección adecuada de las funciones “u” y “dv” es un primer paso crucial. Generalmente, seleccionamos “u” de tal manera que su derivada “du” sea más simple que “u” en sí mismo, y elegimos “dv” de modo que su integral “v” sea más simple q...
Leer más
Imagen
Integrales indefinidas   En esta clase de cálculo integral nos dieron las fórmulas para resolver problemas con respecto a este curso que llevaremos en lo personal con los problemas que nos presentó en clases mire que no se ven tan complicadas, pero solo es el comienzo.            :") Una integral indefinida, también conocida como antiderivada, es una operación en cálculo que se utiliza para encontrar una función cuya derivada sea igual a una función dada. Se representa de la siguiente manera: ∫ f(x) dx En esta notación, ∫ representa el símbolo de integral, f(x) es la función que deseas integrar y dx indica que estás integrando con respecto a la variable x. El resultado de esta operación es una función, generalmente acompañada de una constante arbitraria de integración (denotada como "C"). La integral indefinida se utiliza para encontrar una familia de funciones que tienen la misma derivada que la función dada. Por lo tanto, una integral indefinida...
Leer más