Método de discos y arandelas  

en esta clase compre di un poco las dos fórmulas que se utilizaron en esta clase, pero a la hora de los ejercicios se me dificulto cuando me presentan la función y la tengo que pasar con respecto a x si está en y creo que con la practica puedo mejorar

Podemos tener una función, como esta:

Y hacerla girar alrededor del eje x, así:

Para encontrar su volumen podemos sumar una serie de rebanadas en forma de discos:

La cara de cada disco es un círculo:

El área de un círculo es π por radio al cuadrado:

A = π r²

Y el radio r es el valor de la función en ese punto f(x), por lo tanto:

A = π f(x)²

Y el volumen se encuentra sumando todos esos discos usando integración:

Volumen = 

b

a

 π f(x)² dx

Y esa es nuestra fórmula para sólidos de revolución mediante discos

En otras palabras, para encontrar el volumen de revolución de una función f(x): integra pi multiplicado por el cuadrado de la función.

Ejemplo: Un Cono

Considera la función simple y=x entre 0 y b

Gírala alrededor del eje x ... ¡y tenemos un cono!

El radio de cualquier disco es el valor de la función f(x), que en nuestro caso es simplemente x

¿Cuál es su volumen? Integra pi multiplicado por el cuadrado de la función x:

Volumen = 

b

0

 π x² dx

Primero saquemos pi.

Recuerda que está permitido mover una constante fuera de la integral:

Volumen = π 

b

0

 x² dx

Al usar las Reglas de Integración encontramos que la integral de x² es x³/3 + C

Para calcular esta integral definida, calculamos el valor de esa función para b y para 0 y restamos, así:

Volumen = π (b³/3 − 0³/3)

= π b³/3

Compara ese resultado con el volumen más general de un cono:

Volumen = 13 π r² h

Cuando ambos r=b y h=b se tiene:

Volumen = 13 π b³

Como reto interesante, ¿por qué no tratas de resolver tú mismo el caso más general para cualquier valor de r y h?

 

También podemos rotar sobre otras líneas, como x = −1

Ejemplo: Nuestro cono, pero girado sobre x = −1

Entonces ahora tenemos esto:

Rotado alrededor de x = −1 se ve así:

El cono ahora es más grande pero tiene su extremo afilado cortado (es un cono truncado).

Dibujemos un disco de muestra para que podamos averiguar qué hacer:

OKAY. Ahora bien, ¿cuál es el radio? Es nuestra función y = x más un 1 adicional:

y = x + 1

Luego integra pi por el cuadrado de esa función:

Volumen = 

b

0

 π (x+1)² dx

Pi afuera y desarrolla (x+1)², que es x²+2x+1 :

Volumen = π 

b

0

 (x² + 2x + 1) dx

Al usar las Reglas de Integración encontramos que la integral de x²+2x+1 es x³/3 + x² + x + C

Al ir de 0 y b se tiene:

Volumen = π (b³/3+b²+b − (0³/3+0²+0))

= π (b³/3+b²+b)

Ahora con otro tipo de función:

Ejemplo: Una función cuadrática

Considera y = x² entre x=0.6 y x=1.6

Gírala alrededor del eje x

¿Cuál es su volumen? Integra pi multiplicado por el cuadrado de la función x²:

Volumen = 

1.6

0.6

 π (x²)² dx

Simplifica al mover pi afuera, y también (x²)² = x⁴ :

Volumen = π 

1.6

0.6

 x⁴ dx

La integral de x⁴ es x⁵/5 + C

Al evaluar entre 0.6 y 1.6 se tiene:

Volumen = π ( 1.6⁵/5 − 0.6⁵/5 )

≈ 6.54

¿Puedes girar y = x² alrededor de x = −1 ?

En resumen:

• Mueve pi afuera
• Integra la función elevada al cuadrada
  
• Resta el extremo inferior del extremo superior

 

Alrededor del eje Y

También podemos rotar sobre el eje Y:

Ejemplo: Una función cuadrática

Considera y=x², pero esta vez en el eje y entre y=0.4 y y=1.4

Gírala alrededor del eje Y

¡Y ahora queremos integrar en la dirección y!

Entonces queremos algo como x = g(y) en lugar de y = f(x). En este caso es:

x = √(y)

Ahora integra pi por el cuadrado de √(y)² (y dx ahora es dy):

Volumen = 

1.4

0.4

 π √(y)² dy

Simplifica al mover pi afuera. También simplifica √(y)² = y :

Volumen = π 

1.4

0.4

 y dy

La integral de y es y²/2

Y por último, evaluando entre 0.4 y 1.4 obtenemos:

Volumen = π ( 1.4²/2 − 0.4²/2 )

≈ 2.83...

Sólidos de Revolución Mediante Discos (disfrutalasmatematicas.com)