Método de discos y arandelas  

en esta clase compre di un poco las dos fórmulas que se utilizaron en esta clase, pero a la hora de los ejercicios se me dificulto cuando me presentan la función y la tengo que pasar con respecto a x si está en y creo que con la practica puedo mejorar


Podemos tener una función, como esta:

Sólidos de Revolución y=f(x)

Y hacerla girar alrededor del eje x, así:

Sólidos de Revolución y=f(x)

Para encontrar su volumen podemos sumar una serie de rebanadas en forma de discos:

Sólidos de Revolución y=f(x)

La cara de cada disco es un círculo:

Sólidos de Revolución y=f(x)

El área de un círculo es π por radio al cuadrado:

A = π r2

Y el radio r es el valor de la función en ese punto f(x), por lo tanto:

A = π f(x)2

Y el volumen se encuentra sumando todos esos discos usando integración:

Volumen = 
b
a
 π f(x)2 dx

Y esa es nuestra fórmula para sólidos de revolución mediante discos

En otras palabras, para encontrar el volumen de revolución de una función f(x): integra pi multiplicado por el cuadrado de la función.

Ejemplo: Un Cono

Considera la función simple y=x entre 0 y b

Sólidos de Revolución y=x

Gírala alrededor del eje x ... ¡y tenemos un cono!

Sólidos de Revolución y=x

El radio de cualquier disco es el valor de la función f(x), que en nuestro caso es simplemente x

Sólidos de Revolución y=x

¿Cuál es su volumen? Integra pi multiplicado por el cuadrado de la función x:

Volumen = 
b
0
 π x2 dx

Primero saquemos pi.

Recuerda que está permitido mover una constante fuera de la integral:

Volumen = π 
b
0
 x2 dx

Al usar las Reglas de Integración encontramos que la integral de x2 es x3/3 + C

Para calcular esta integral definida, calculamos el valor de esa función para b y para 0 y restamos, así:

Volumen = π (b3/3 − 03/3)

= π b3/3

Compara ese resultado con el volumen más general de un cono:

Volumen = 13 π r2 h

Cuando ambos r=b y h=b se tiene:

Volumen = 13 π b3

Como reto interesante, ¿por qué no tratas de resolver tú mismo el caso más general para cualquier valor de r y h?

 

También podemos rotar sobre otras líneas, como x = −1

Ejemplo: Nuestro cono, pero girado sobre x = −1

Entonces ahora tenemos esto:

Sólidos de Revolución y=x

Rotado alrededor de x = −1 se ve así:

Sólidos de Revolución y=x

El cono ahora es más grande pero tiene su extremo afilado cortado (es un cono truncado).

Dibujemos un disco de muestra para que podamos averiguar qué hacer:

Sólidos de Revolución y=x

OKAY. Ahora bien, ¿cuál es el radio? Es nuestra función y = x más un 1 adicional:

y = x + 1

Luego integra pi por el cuadrado de esa función:

Volumen = 
b
0
 π (x+1)2 dx

Pi afuera y desarrolla (x+1)2, que es x2+2x+1 :

Volumen = π 
b
0
 (x2 + 2x + 1) dx

Al usar las Reglas de Integración encontramos que la integral de x2+2x+1 es x3/3 + x2 + x + C

Al ir de 0 y b se tiene:

Volumen = π (b3/3+b2+b − (03/3+02+0))

= π (b3/3+b2+b)

Ahora con otro tipo de función:

Ejemplo: Una función cuadrática

Considera y = x2 entre x=0.6 y x=1.6

Sólidos de Revolución y=x^2

Gírala alrededor del eje x

Sólidos de Revolución y=x^2

¿Cuál es su volumen? Integra pi multiplicado por el cuadrado de la función x2:

Volumen = 
1.6
0.6
 π (x2)2 dx

Simplifica al mover pi afuera, y también (x2)2 = x4 :

Volumen = π 
1.6
0.6
 x4 dx

La integral de x4 es x5/5 + C

Al evaluar entre 0.6 y 1.6 se tiene:

Volumen = π ( 1.65/5 − 0.65/5 )

≈ 6.54

¿Puedes girar y = x2 alrededor de x = −1 ?

En resumen:


  • Mueve pi afuera
  • Integra la función elevada al cuadrada
  • Resta el extremo inferior del extremo superior

 

Alrededor del eje Y

También podemos rotar sobre el eje Y:

Ejemplo: Una función cuadrática

Considera y=x2, pero esta vez en el eje y entre y=0.4 y y=1.4

Sólidos de Revolución en el eje Y

Gírala alrededor del eje Y

Sólidos de Revolución en el eje Y

¡Y ahora queremos integrar en la dirección y!

Entonces queremos algo como x = g(y) en lugar de y = f(x). En este caso es:

x = √(y)

Ahora integra pi por el cuadrado de √(y)2 (y dx ahora es dy):

Volumen = 
1.4
0.4
 π √(y)2 dy

Simplifica al mover pi afuera. También simplifica √(y)2 = y :

Volumen = π 
1.4
0.4
 y dy

La integral de y es y2/2

Y por último, evaluando entre 0.4 y 1.4 obtenemos:

Volumen = π ( 1.42/2 − 0.42/2 )

≈ 2.83...





Sólidos de Revolución Mediante Discos (disfrutalasmatematicas.com)

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas más populares de este blog

Imagen
  Integración de potencias de funciones trigonométricas  En esta clase comprendí a la manera de cómo puedes realizar este modo de integración y como se tiene que utilizar el cambio de variable para su finalización  integrar expresiones que contienen términos elevados a potencias enteras o fraccionarias de funciones trigonométricas. Aquí tienes algunas fórmulas generales que pueden ser útiles: Integración de seno y coseno elevados a potencias pares: ∫ sin ⁡ � ( � )   � � = − 1 � ⋅ sin ⁡ � − 1 ( � ) ⋅ cos ⁡ ( � ) + � − 1 � ∫ sin ⁡ � − 2 ( � )   � � ∫ sin n ( x ) d x = − n 1 ​ ⋅ sin n − 1 ( x ) ⋅ cos ( x ) + n n − 1 ​ ∫ sin n − 2 ( x ) d x ∫ cos ⁡ � ( � )   � � = 1 � ⋅ cos ⁡ � − 1 ( � ) ⋅ sin ⁡ ( � ) + � − 1 � ∫ cos ⁡ � − 2 ( � )   � � ∫ cos n ( x ) d x = n 1 ​ ⋅ cos n − 1 ( x ) ⋅ sin ( x ) + n n − 1 ​ ∫ cos n − 2 ( x ) d x Integración de tangente elevada a una potencia impar: ∫ tan ⁡ � ( � )   � � = 1 � − 1 ⋅ tan ⁡ � − 1 ( � ) − ∫ tan ⁡ � − 2 ( � )   � � ∫ tan n ( x ) d x ...
Leer más
Imagen
Integrales indefinidas   En esta clase de cálculo integral nos dieron las fórmulas para resolver problemas con respecto a este curso que llevaremos en lo personal con los problemas que nos presentó en clases mire que no se ven tan complicadas, pero solo es el comienzo.            :") Una integral indefinida, también conocida como antiderivada, es una operación en cálculo que se utiliza para encontrar una función cuya derivada sea igual a una función dada. Se representa de la siguiente manera: ∫ f(x) dx En esta notación, ∫ representa el símbolo de integral, f(x) es la función que deseas integrar y dx indica que estás integrando con respecto a la variable x. El resultado de esta operación es una función, generalmente acompañada de una constante arbitraria de integración (denotada como "C"). La integral indefinida se utiliza para encontrar una familia de funciones que tienen la misma derivada que la función dada. Por lo tanto, una integral indefinida...
Leer más
Imagen
 VALOR ESPERADO Y VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Media o valor esperado La media «µ» o valor esperado «E(X)» es un promedio ponderado de los valores que asume la variable aleatoria cuando los pesos son las probabilidades. Es una medida de tendencia central. Cuando trabajamos con una variable aleatoria discreta, la media o valor esperado se calcula mediante la siguiente fórmula: Como verás, la media  µ  de una variable aleatoria discreta X se encuentra al multiplicar cada posible valor de X por su propia probabilidad y luego sumar todos los productos. El valor esperado o media no tiene que ser un valor que la variable aleatoria pueda asumir.   Varianza L varianza,  σ 2  o  V(X),  es un promedio ponderado de las desviaciones al cuadrado de una variable aleatoria de su media. Los pesos son las probabilidades. La varianza  σ 2  o  V(X)  se calcula con la siguiente fórmula: Pero es más fácil y rápido usar esta fórm...
Leer más