Cambio de variables 

 lo que aprendí de esta clase es que existe otra manera más rápida de integración y es muy fácil de utilizar

Algunas veces para poder integrar una función conviene utilizar un cambio de variable. Este método tiene su justificación en la regla de la cadena que utilizamos en cálculo diferencial:

  \begin{equation*} \int\!f(u(x))\,u'(x)\,\cdot dx= \int\!f(t)\,\cdot dt \end{equation*}

En palabras, si tenemos una función compuesta que queremos integrar, debemos verificar que la diferencial incluye a la derivada de la función u(x) para que podamos integrar. Observa que el término u'(x) solamente sirve para completar la diferencial. No es parte de la función f que vamos a integrar, de manera que no aparece en el resultado final. Sin embargo, no debes olvidar verificar que este término se encuentre en el integrando como un factor, de otra manera, la integral estará incorrecta.

Ejemplo

Calcula la siguiente integral indefinida:

  \begin{equation*} \int\!\left(5\,x - 7\right)^{12}\,\cdot dx \end{equation*}

Empezamos definiendo: \textcolor{red}{u(x)} = \textcolor{red}{5\,x - 7}, de donde: \textcolor{blue}{u'(x)} = \textcolor{blue}{5}.

Sustituyendo estos valores en la integral: 

\begin{equation*} \int\!f(u(x))\,u'(x)\,\cdot dx = \int\!f(t)\,\cdot dt \end{equation*}

obtenemos:

  \begin{equation*} \int\!(\textcolor{red}{5\,x - 7})^{12}\,\left(\displaystyle\frac{\textcolor{blue}{5}}{5}\right)\,\cdot dx= \displaystyle\frac{1}{5}\int\!(\textcolor{red}{u(x)})^{12}\,\textcolor{blue}{u'(x)}\,\cdot dt \end{equation*}

Observa que hemos completado la diferencial multiplicando por 5/5 en el integrando. Ahora solamente aplicamos la regla (iv) de integración, y obtenemos:

  \begin{eqnarray*} \int\!\left(5\,x - 7\right)^{12}\,\cdot dx&=& \displaystyle\frac{1}{5}\int\!(\textcolor{red}{u(x)})^{12}\,\textcolor{blue}{u'(x)}\,\cdot dx\\ &=& \displaystyle\frac{1}{5}\cdot\displaystyle\frac{[u(x)]^{13}}{13} + C \\ &=& \displaystyle\frac{1}{5}\cdot\displaystyle\frac{\left(5\,x - 7\right)^{13}}{13} + C\\ &=& \displaystyle\frac{\left(5\,x - 7\right)^{13}}{65} + C \end{eqnarray*}


En otros casos vamos a tener que simplificar algebraicamente el integrando para que podamos ver la forma dada en la regla para integrar usando el método de cambio de variable.

Ejemplo

Calcula la integral:

  \begin{equation*} \int\!\left(2\,x\sqrt{x^2 + x - 5} + \sqrt{x^2 + x - 5}\right)\,\cdot dx \end{equation*}

Factorizando el término común, podemos representar esta integral como:

Ahora definimos:

  \begin{equation*} \textcolor{red}{u(x)} = \textcolor{red}{x^2 + x - 5}\qquad\Rightarrow\qquad \textcolor{blue}{u'(x)} = \textcolor{blue}{2\,x + 1} \end{equation*}

Entonces, la diferencial está completa, y podemos integrar haciendo el cambio de variable como se acaba de definir:

  \begin{eqnarray*} \int\!\sqrt{x^2 + x - 5}\,\left(2\,x + 1\right)\,\cdot dx &=& \int\!\sqrt{\textcolor{red}{u(x)}}\,\textcolor{blue}{u'(x)}\,\cdot dx\\ &=& \int\!\left(\textcolor{red}{u(x)}\right)^{1/2}\,\textcolor{blue}{u'(x)}\,\cdot dx\\ &=& \displaystyle\frac{u(x)^{3/2}}{3/2}+ C\\ &=& \displaystyle\frac{2\,\left(x^2 + x - 5\right)^{3/2}}{3}+ C \end{eqnarray*}









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